НОД и НОК — это наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел. В 6 классе их находят через разложение на простые множители, а потренироваться можно в тренажёре над текстом.
Делители, кратные и простые числа
Делитель — число, на которое данное делится без остатка. У 12 шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Кратное — число, которое делится на данное: 24 и 36 кратны 12. Делители и кратные — основа темы: из них и вырастают НОД и НОК.
Простое число имеет ровно два делителя: единицу и само себя. Это 2, 3, 5, 7, 11, 13. Остальные числа больше единицы составные.
Самый большой общий делитель двух чисел и есть НОД, а самое маленькое число, которое делится на оба, — НОК.
Признаки делимости, которые помогают разложить число
Перед разложением проверьте, на что делится число:
- на 2 — число оканчивается чётной цифрой: 0, 2, 4, 6, 8;
- на 5 — оканчивается на 0 или 5;
- на 10 — оканчивается на 0;
- на 3 — сумма цифр делится на 3;
- на 9 — сумма цифр делится на 9.
У 3 456 сумма цифр 18, значит, число делится и на 3, и на 9.
Как найти НОД и НОК через разложение на простые множители
- Разложите каждое число на простые множители.
- Для НОД перемножьте множители, которые есть в обоих разложениях. Если общий множитель повторяется в обоих числах, берите его столько раз, сколько он встречается в том разложении, где его меньше.
- Для НОК возьмите разложение большего числа и допишите множители другого числа, которых в нём не хватает. Произведение и есть НОК.
Два примера с решением
Числа 12 и 18. Раскладываем: 12 = 2 · 2 · 3, 18 = 2 · 3 · 3. Общие множители — одна двойка и одна тройка, поэтому НОД = 2 · 3 = 6. Для НОК берём 18 = 2 · 3 · 3 и дописываем вторую двойку из 12: НОК = 2 · 2 · 3 · 3 = 36.
Числа 36 и 48. Раскладываем: 36 = 2 · 2 · 3 · 3, 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3. Общие множители — две двойки и тройка: НОД = 2 · 2 · 3 = 12. К разложению 48 добавляем недостающую тройку из 36: НОК = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 144.
Когда НОК находится быстрее
- Если у чисел нет общих делителей, кроме 1 (это взаимно простые числа), их НОД равен 1, а НОК — произведению: НОК(9; 25) = 225.
- Если одно число делится на другое, НОД равен меньшему, а НОК — большему: НОД(9; 18) = 9, НОК(9; 18) = 18.
- Для двух чисел произведение НОК и НОД равно произведению самих чисел: НОД · НОК = a · b. Поэтому НОК удобно найти через НОД: 36 · 48 : 12 = 144.
Частые ошибки
- Общий множитель берут один раз, хотя он повторяется. У 36 и 48 общая двойка встречается дважды, поэтому НОД 12, а не 6.
- В НОК теряют множитель, который есть только у одного из чисел.
- Раскладывают не до конца: 12 = 2 · 6 ещё не разложение, ведь 6 не простое.
Проверка: НОК делится на оба числа, а оба числа — на НОД. 144 : 36 = 4, 144 : 48 = 3, значит, ответ верный.
Зачем это в 6 классе и как потренироваться
НОД нужен, чтобы сокращать дроби: дробь 12/18 сокращают на 6 и получают 2/3. НОК помогает привести дроби к общему знаменателю: у 1/12 и 1/18 наименьший общий знаменатель 36. Чем увереннее ребёнок находит НОД и НОК, тем легче ему даются действия с дробями.
Решайте задания в тренажёре на этой странице: после ошибки он показывает разбор через разложение на простые множители. Когда тема пойдёт уверенно, переходите к обыкновенным дробям, а другие темы года собраны на странице тренажёров для 6 класса.